septembre | 2007 | Cours de Mathématiques de B. Houchmandzadeh

28 septembre 2007

Cours #8 : Distribution, TF et +SA

Filed under: Uncategorized — bhouchmandzadeh @ 10:55

1. Nous nous sommes familiarisés avec le concept de distribution aujourd’hui. Nous avons vu que les distributions « généralisent » les fonctions (j’ai renoncé à un développement plus rigoureux). Ce qu’il faut retenir est que l’on étudie une distribution à l’aide de son action sur une fonction. Par exemple, une fonction $g(x)$ peut être considérée comme une distribution avec son action sur une autre fonction définie par un produit scalaire : $\int_I g(x) f(x) dx$ ( où $I=]-\infty, +\infty[$ )
La distribution de Dirac $\delta(x)$ est déifnie par son action

$\int_I \delta(x) f(x) dx = f(0)$

Et nous avons vu que cela nous permet de définir d’autres distributions comme $\delta(x) \cos qx$ ou $\delta'(x)$ . Enocre mieux, nous pouvos étendre facilement les règles de l’analyses aux distributions et écrire par exemple
$\delta(x+a) = \delta(x) + a \delta'(x) + (1/2)a^2 \delta''(x) +...$

2. Nous avons ensuite résolut plusieurs équations impliquant des $\delta(x)$ en insistant sur leur signification physique. Comme exemple élaboré, nous avons calculé la fonction de Green de l’équation de la chaleur :

$\partial u/ \partial t - D \partial^2 u/\partial x^2 = \delta(x) \delta(t)$

3. Nous avons fait une réflexion générale sur la signification des $\delta$ . Quand on écrit

$f(x) = (1/2 \pi) \int_R \tilde{f}(q) \exp(iqx)dq$

nous sommes entrain de représenter la fonction $f$ comme une superposition d’exponentielle complexe de nombre d’onde $q$ , chacune avec le poids $(1/2 \pi) \tilde{f}(q)$ . Autrement dit, nous représentons la fonction dans la base des exponentielles complexes.

La fonction $\delta(x-a)$ est juste un delta de Dirac centré en a. De par la définition de $\delta$ , nous avons

$f(x) = \int_R f(y) \delta(x-y) dy$

Ce qui veut dire que nous pouvons considérer une fonction comme une superposition de $\delta$ chacun centré à une position $y$ avec le poids $f(y)$ ! Quand nous écrivons $f(x)$ , nous somme en réalité en train de représenter la fonction dans la base de Dirac.

Nous avons utilisé ce fait et le principe de superposition des équations linéaires pour donner la solution de

$\partial u/ \partial t - D \partial^2 u/\partial x^2 = \delta(x) f(t)$

comme une convolution du noyau de Green avec la fonction $f(t)$ . Nous reviendrons en détail sur ce concept quand nous traiterons les fonctions de Green.

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25 septembre 2007

Cours #7 : Les distributions.

Filed under: Uncategorized — bhouchmandzadeh @ 5:53

Cours, chapitre #Les distriburtions.

Nous avons vu aujourd’hui la théorie des distributions, une sorte de généralisation des fonctions.

J’ai d’abord introduit le concept de charge ponctuelle ; j’ai donné la définition « à la main » de la distribution de Dirac, comme la limite des fonctions dont la base se rétrécit et l’amplitude augmente, comme par exemple la fonction $(1/ \epsilon)\Pi(x/\epsilon)$ quand $\epsilon \rightarrow 0$ .

Cette définition nous permet d’établir la propriété fondamentale des Dirac, c’est à dire

$\int_I \delta(x) f(x) dx = f(0)$

Et cela nous permet d’établir que la TF d’un Dirac est la fonction constante 1, et que

$\delta(x)=(1/2 \pi) \int_I \exp(iqx)dq$

Nous avons passé pas mal de temps autour de ces concepts, soulignant que dans l’ensemble des fonctions normales, ce genre d’opération est assez illégale.

J’ai ensuite introduit la théorie mathématique des distributions en générale comme des formes linéaire sur l’ensemble des fonctions de support bornées. Cette partie là, j’ai eu l’impression, a quelque peu malmené les étudiants. En tout cas, cela nous a permis de définir précisément la notion d’égalité entre distribution et surtout de leur dérivés.

On s’entraînera avec tout ces concepts la prochaine fois. On peu parfaitement être à l’aise avec les distributions en se contentant de l’intuition physicienne.

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21 septembre 2007

Cours #6 : les TF.

Filed under: Uncategorized — bhouchmandzadeh @ 11:10

Nous avons vu les TF comme une généralisation des séries de Fourier (I dénote l’intervalle infini) :

$\tilde{f}(q) = \int_I f(x) \exp(-iqx)dx$

$f(x) = \frac{1}{2 \pi} \int_I \tilde{f}(q)\exp(iqx)dx$

Le sens est toujours décomposition en fonction oscillatoire, sauf que les fréquences sont cette fois continues. Nous avons fait quelques exemples pour nous y habituer, et j’ai insisté sur la signification fonctionnelle des TF : TF est un opérateur qui transforme une fonction dans une autre, et fait cela de façon linéaire. J’ai également un peu (pas trop) insisté sur les conditions d’existence des TF, en mentionnant quelques exemples qui nous ouvrent vers le prochain cours sur les distribution.

J’ai ensuite introduit les régles de manipulations des TF qui nous évitent à chaque fois de refaire des intégrales. Enfin, j’ai mentionné que la règle des dérivations nous permet de transformer des équations différentielles en équation algébrique, et nous avons vu l’exemple de filtrage fréquentielle des circuits RLC.

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18 septembre 2007

Cours #5 : Séries de Fourier, approfondissement.

Filed under: Uncategorized — bhouchmandzadeh @ 10:48

Cours, chapitre #Séries de Fourier.

Nous avons généralisé aujourd’hui l’utilisation des SF pour la résolution des EDP. Nous avons revu d’abord la solution de

$\partial_t u = D\partial_{x^2} u$

$u(x,0)=\phi(x)$

$u(0,t)=u(L,t)=0$

en terme de l’évolution des amplitudes $b_n(t)$ de la série de sinus. Nous avons ensuite généralisé cette résolution dans deux directions :

1- Quand les conditions aux bords sont plus compliquées, comme par exemple $u(0,t)=0, u(L,t)=T$ , nous avons montré comment régulariser ces conditions, en utilisant la solution stationnaire.

2- Quand l’équation comporte un second membre (termes de source ou de force) comme par exemple

$\partial_t u = D\partial_{x^2} u + Q(x,t)$

Nous avons ensuite donné un aperçu des trois grands types d’EDP de la physique mathématique (diffusion, onde, vibration des poutres et des membranes) et des conditions aux limites nécessaires pour les résoudre, et de l’utilisation des SF pour leur résolution qui est en tout point similaire à ce que nous avions déjà vu.

II.

Comme autre exemple fondamental d’utilisation des SF, nous avons donné la méthode de la fonction caractéstique en probabilité :

Supposons que l’on cherche la probabilité $P(n,t)$ d’un processus discret obéissant à une certaine équation. La fonction caractéristique associée à cette probabilité est

$\phi(x,t)=\sum P(n,t) \exp(i n x)$

où $x$ est la variable conjuguée à $n$ . Les $P(n,t)$ jouent le rôle des coefficients de Fourier (complexe) de la fonction $\phi(x,t)$ que nous avons introduite.

Comme application de ce concept, nous avons établi l’équation du mouvement Brownien sur réseau discret :

$\frac{1}{\beta} \frac{dP(n,t)}{dt}=P(n+1,t)+P(n-1,t) - 2P(n,t)$

La fonction caractéstique obtenue à partir de là s’écrit (après quelques lignes de calculs)

$\phi(x,t)=\exp( 2\beta t(1-\cos x) )$

On peut donc directement accéder à la moyenne et la variance de la variable aléatoire $<n> et <n^2>$ en prenant des dérivées succéssives de $\phi$ . On peut également trouver les probabilités en inversant la SF :

$P(n,t)=\frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi}\phi(x,t)\exp(inx)dx = \exp(-2 \beta t) I_n(2 \beta t)$

où $I_n$ est la fonction de Bessel I.

Plus important encore, nous avons vu comment en prenant la limite $a \rightarrow 0$ où $a$ est la taille de réseau, on retrouve l’équation de diffusion $\partial_t u = D\partial_{x^2} u$ .

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14 septembre 2007

Cours #4 : Application des Séries de Fourier.

Filed under: Uncategorized — bhouchmandzadeh @ 10:39

Cours, chapitre #Séries de Fourier.

Nous avons vu aujourd’hui des variations autour de la base de Fourier : la base des sinus et la base des cosinus :

base de Fourier : $f(x) = a_0 + \sum a_n \cos(2 \pi n x/L) + \sum b_n \sin( 2 \pi n x/L)$

base des Sinus : $f(x) = \sum b'_n \sin( \pi n x/L)$

base des Cosinus $f(x) = a'_0 + \sum a'_n \cos( \pi n x/L)$

Nous avons noté la différence entre ces bases qui à priori contiennent la même quantité d’informations. Ce qui les distingue relève des conditions aux bords, comme nous le verrons.

Ces séries là sont utilisées pour résoudre des équations aux dérivées partielles (EDP). Nous avons donc énoncé les conditions qui nous permettent de dériver les séries et avons appliqué cela à la résolution de l’équation de la chaleur

$\partial_t u = D \partial_{x^2} u$

avec la condition initial $u(x,0)=\phi(x)$

et les conditions aux bords $u(0,t)=u(L,t)=0$

La méthode de la résolution qui nous donne directement l’évolution de l’amplitude des harmoniques est extrémement générale et nous verrons par la suite de nombreux exemples.

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11 septembre 2007

Cours #3 : Séries de Fourier.

Filed under: Uncategorized — bhouchmandzadeh @ 10:38

Nous avions vu (cf cours #2) que l’espace des fonctions de carré sommable sur un intervalle $[a,b]$ possède une base dénombrable, c’est à dire qu’il existe des fonctions $f_i(x)$ , $i=1,2,...,n,...$ tel que $\forall f \in {\cal L}^2[a,b]$ ,

$f(x) = \sum_{i=1}^\infty a_i f_i(x)$

Aujourd’hui, nous avons exhiber concrètement une telle base, qu’on appelle la base de Fourier : sur l’intervalle $[a,b]$ ,

$f(x) = a_0 +\sum_{n=1}^\infty a_n \cos(2 \pi n x/L) + \sum_{n=1}^\infty b_n \sin(2 \pi n x/L)$

les fonctions de la base sont appelées les harmoniques. Nous avons vu que les harmoniques sont mutuellement orthogonales et le produit scalaire d’un harmonique avec lui même vaut $L/2$ (sauf pour l’harmonique d’ordre 0, qui vaut $L$ ).

L’amplitude d’un harmoniques s’obtient directement en prenant le produit scalaire de la fonction et de l’harmonique en question :

$a_0 = (1/L) \int_a^b f(x)dx$

$a_n = (2/L) int_a^b f(x) \cos(2 \pi n x/L)$

$b_n = (2/L) int_a^b f(x) \sin(2 \pi n x/L)$

Nous avons vu quelques exemples pratique. Nous avons ensuite insisté que l’égalité entre une fonction et sa série de Fourier doit être entendu au sens ${\cal L}^2$ : si la série de Fourier de $f(x)$ est $S(x)$ alors

$\int_a^b | f(x)-S(x) |^2 dx = 0$

Cela veut dire concrétement que $f$ et $S$ peuvent être différentes sur un nombre fini de points. Par exemple, quand nous décomposons $x$ sur l’intervalle $[0,1]$ ,

$x = 1/2 + \sum_{n=1}^\infty (-1/ \pi n)\sin(2 \pi n x)$

pour $x=0$ ou $x=1$ , la valeur de la fonction et de sa série sont différente. Plus exactement, en un point de discontinuité,

$S(x) = (1/2) ( f(x^+)+f(x^-) )$ .

Nous avons ensuite vu des variantes des séries de Fourier. La variante que les physiciens utilisent beaucoup consiste à utiliser des exponentielles complexes à la place des sinus et des cosinus.

$f(x) = \sum_{n=-\infty}^\infty c_n \exp(2i \pi nx/L)$

et donc

$c_n=(1/L) \int_a^b f(x) \exp(-2i \pi nx/L) dx$

Nous nous sommes arrêté avant l’introduction de deux autres bases, la base des sinus et la base des cosinus, qui sont d’un intérêt très pratique pour la résolution des équations aux dérivées partielles. Ceci sera l’objet du prochain cours, ou nous verrons concrètement l’application des SF à la résolution des EDP.

Notons simplement que la dérivée seconde d’un harmonique est le même harmonique multiplié par un nombre. C’est cette propriété qui les rend inestimable quand on a affaire à des EDP qui impliquent des dérivées secondes en $x$ , comme l’équation de la chaleur ou des cordes vibrantes$.

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7 septembre 2007

Cours #2 : Analyse fonctionnelle.

Filed under: Uncategorized — bhouchmandzadeh @ 3:06

Nous avons vu aujourd’hui les bases de ce que nous allons faire lors des prochains 8-9 cours. L’idée derrière tout ce que l’on va faire est la résolution de système linéaire.

Nous savons résoudre un système de deux équations, deux inconnus du genre $x+y=0, x-y=2$ que l’on présente sous forme matricielle par $Au=b$ ; $A$ est une matrice 2×2, $u,b$ sont des vecteurs colonnes 2×1. Nous allons voir dans les prochains cours que résoudre une équation aux dérivées partielles du genre

$\left( \partial_t - D \partial_{x^2} \right) u = f(x,t)$

conceptuellement n’est pas différent de résoudre le système linéaire ci-dessus ; nous aurons simplement à manipuler des matrices infinis, mais nous allons apprendre la mécanique de ce genre de manipulation.

Pour pouvoir ramener une EDP à un système linéaire, il faut définir exactement le concept de vecteur, espace vectoriel, base, produit scalaire, … L’étape suivante est de montrer que l’espace des fonctions est un espace vectoriel que l’on peut équiper d’un produit scalaire.

Nous avons passé notre temps à établir ce genre de chose. Le prochain cours sera dédié à une base particulière de l’espace des fonctions, la base de Fourier ; Le cours d’après montrera pratiquement comment une telle base nous permet de résoudre des EDP mentionnées.

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4 septembre 2007

Premier cours

Filed under: Uncategorized — bhouchmandzadeh @ 10:06

Nous avons eu notre premier cours dédié à la géométrie. Nous avons vu ce que c’est un système de coordonnées généralisé $(x_1,x_2,...x_n)$ et les éléments du tenseur métrique $(h_1,...h_n)$ tel que

$ds^2=\sum_i h_i^2 dx_i^2$

Nous avons ensuite vu les définitions géométriques des opérateurs différentiels :

$df=\bold{grad f.ds}$

$(\bold{rot f})(\bold n) = \lim_{A\rightarrow 0} \frac{1}{A}\int_C \bold{F.ds}$

$\bold{div} \bold{f} = \lim_{V\rightarrow 0} \frac{1}{V}\int_\Sigma \bold{F.d\Sigma}$

et le sens géomtrique de ces opérateurs : le gradient donne la variation de la fonction pour des deplacements physiques , le rotationnel extrait la composante tournante du champ en un point, et la divergence fait le bilan du flux sortant d’un petit volume autour d’un point.

Les définitions ci-dessus nous ont permis de donner l’expression de ces opérateurs dans un système de coordonnées curviligne quelconque en faisant intervenir les éléments du tenseur métrique. Pour chacun de ces opérateurs, nous avons pris comme exemple leur expression dans le système de coordonnées cylindrique $(r,\theta,z)$ , les étudiants verront leurs expressions en système sphérique en TD.

Tous ces opérateurs sont des opérateurs de premier ordre et dimentionnellement équivalent à la dimension de la fonction divisée par une longueur $[f]/L$ . L’opérateur laplacien $\Delta$ est un opérateur de second ordre dont nous avons donnés la définition comme

$\Delta V = \bold{div}(\bold{grad}V)$

Utilisant cette expression, nous pouvions expliciter sa représentation dans un système de coordonnées quelconque. Par contre, je n’ai pas eu le temps d’expliciter trop la signification physique du laplacien ; j’ai juste mentionné que c’est l’écart de la fonction en un point par rapport à sa moyenne pris sur les points voisins.

Je n’ai pas donné la définition du laplacien d’un champ de vecteur : la signification est toujours l’écart à la moyenne mais pour pouvoir le calculer vraiment, il faut avoir des notions de géométrie plus avancées sur le transport parrallèle d’un vecteur. Le site web contient des documents plus avancés sur ce thème pour les étudiants (très) intéressés.

Pour finir, j’ai posé comme petit défi de démontrer que

$\bold{rot.grad}f=0$

sans utiliser aucun système de coordonnées, mais en utilisant la définition géométrique ci-dessus. Pour cela, il suffit de considerer les surface de niveau passant par le point $P$ et des points voisins, et considérer des circuits soit dans le plan des surfaces de niveau, soit joignant plusieurs surface ; il suffit alors d’utiliser le fait que le gradient est orthogonal aux surface de niveau.

Voilà, c’était notre premier cours. Il ne s’inscrit pas directement dans le plan de ce que l’on va faire par la suite, mais comme ces concepts sont très utilisés dans les autres cours de physique, j’ai jugé utile de commencer par cela.

Notre prochain cours, le vendredi 7 septembre sera dédié aux rudiments d’analyse fonctionnelle. Ce sera le socle sur lequel on bâtira le reste du cours.

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Cours de Mathématiques de B. Houchmandzadeh

28 septembre 2007

Cours #8 : Distribution, TF et +SA

25 septembre 2007

Cours #7 : Les distributions.

21 septembre 2007

Cours #6 : les TF.

18 septembre 2007

Cours #5 : Séries de Fourier, approfondissement.

14 septembre 2007

Cours #4 : Application des Séries de Fourier.

11 septembre 2007

Cours #3 : Séries de Fourier.

7 septembre 2007

Cours #2 : Analyse fonctionnelle.

4 septembre 2007

Premier cours

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