Math 362 #11

1- Nous avons commencé  les TD sur les problème variationnel avec contrainte, et nous avons traité l’équation de la chainette (en utilisant l’identité de Beltrami sur le lagrangien avec contrainte) et l’équation de Schrodinger. Nous avançons assez lentement. On finira cette partie la semaine prochaine. J’ai laissé comme défi le problème suivant, comme la suite de notre traitement variationnel de l’équation de Schrodinger : pourquoi la fonction  fondamental ne change pas de signe ? Pour cela il vaut mieux regarder le lagrangien en utilisant la fonction sous forme polaire :

et déduire l’équation d’Euler-Lagrange  pour la phase .

2- Deux personnes m’ont demandé l’intégrale de . Comme je l’ai indiqué, le résultat est une fonction elliptique. De façon générale, l’intégrale elliptique de seconde sorte est définie par

et ces fonctions nous emmène alors directement vers les fonctions sn, cn (sinus et cosinus elliptique) qui généralisent les sinus et les cosinus. Vous pouvez étudiez le graphe de ces fonctions sur le site de wolfram .

Nous n’avons pas étudié ces fonctions ; bien que leur étude soit passionnante, on ne les rencontre pas aussi souvent que les autres fonctions spéciales, et cela nous aurait demandé plusieurs cours supplémentaire. Plus généralement, il est difficile d’étudier ces fonctions avant d’aborder les fonctions complexes, puisque ce sont les fonctions doublement périodique dans le plan complexe.

Ces fonctions ont joué un rôle très important dans le développement des mathématiques au début du dix neuvième siècle et tous les grands mathématiciens de l’époque y ont travaillé, parmi lesquel Jacobi et Abel ont eu des contributions fondamentales.  La formulation la plus élégante a été donné par Weirestrauss via la fonction qui porte maintenant son nom.