Cours #16 : Opérateurs Linéaires

Nous avons commencé aujourd’hui notre premier cours sur les opérateurs linéaires, considéré comme des objets abstraits. Notre but ultime est de pouvoir résoudre des équations du genre

c’est à dire des EDP linéaires à coefficients quelconque. Nous avons vu des cas particulier (équation de chaleur, onde, poutre,…) où les coefficients sont constants que nous résolvions à l’aide par exemple des transformée de fourier, nous voulons généraliser cette approche. Pour cela, nous avons commencé aujourd’hui à définir l’algèbre des opérateurs linéaire, et nous avons vu que cela nous permet de définir des objets à priori complexe comme

où  a est un scalaire et A un opérateur. Cela nous a même permis de définir des dérivée par rapport au paramètre et de résoudre symboliquement une équation du genre

par la donnée de l’opérateur évolution

Nous allons, la prochaine fois, nous donner les moyens de calculer efficacement ce genre d’opérateur d’évolution.

Cours #15 : perturbation III

Nous avons aujourd’hui traité

1- perturbations singulières. Nous avons vu comment des termes apparement innocent ont des conséquences catastrophique sur les solution pertubative. Nous avons traité en détail le cas de l’oscillateur non-linéaire

Et nous avons vu que pour éliminer les termes séculaires, nous devons renormaliser la fréquence de base sous la forme de

J’ai également mentionné le cas de l’oscillateur auto-entretenu de Van der Pol et avons vu l’apparition des cycles limites.

2- Je suis  ensuite revenu au problème de la stabilité linéaire, et nous avons regardé, pour l’équation décrivant une interface

dans quel mesure la solution stationnaire constitue une solution stable. Nous avons vu que pour cela, il suffit de considérer des perturbation de type et regarder l’évolution de en fonction du temps.

Cours #14 : perturbaton II.

1- Le cours.

Nous avons continué aujourd’hui l’exploration de la technique des perturbations. Nous avons vu

1. la stabilité linéaire dans les équations différentielles.
2. les équations intégrales ; J’ai donné  comme exemple l’équation que j’ai résolu aux deux premiers ordre, et j’ai laissé comme exercice le calcul à tout ordre et la solution exacte.
3. Les équations différentielles ordionaires. Nous avons fait l’oscillateur paramétrique à l’ordre 1, nous avons traité ensuite l’oscillateur avec des termes non-linéaires et nous avons vu l’apparition des termes résonnants qui détruisent  notre approximation. Nous verrons la semaine prochaine comment prendre en compte ses termes. Ces perturbations s’appellent « singulières », en contraste avec ce que nous avons fait jusque là qui s’appelaient des « perturbations régulières ».

2- Correction.

Quelques étudiant m’ont fait remarquer que lors du calcul de la limite asymptotique  de la fonction de Bessel, j’avais utilisé , tandis que selon Abrahamowitz, il faut avoir .

Merci pour la correction.

3- Shwartzchild.

J’ai mentionné le calcul exact de la precession de mercure par Schwartzchild en 1915, améliorant la solution perturbative d’Einstein. Vous pouvez voir un aperçu rapide des travaux de Scwartzchild ici.

cours #13 : Perturbations I.

Nous avons commencé aujourd’hui notre premier cours sur le calcul des perturbations. J’ai eu le temps d’énoncer les principes de base, et de les appliquer aux équations algébriques et aux calcul des valeurs propres. La semaine prochaine, stabilité linéaire et les perturbations singulières.