Math 362 #3.

Nous avons continué avec la résolution des équations impliquant le Laplacien en sphérique : onde, schrodinger et atome d’hydrogène, …

Ces exercices de musculation étant faits, nous attaquerons le coeur de notre cour Lundi.

M362 #2

J’ai fait un long rappel de notre précédent cours et introduit l’équation de Laplace en coordonnée sphérique. Nous avons vu que sa résolution nous amène à étudier les équations de Lengendre et les polynomes de Lengendre associés. Nous avons rencontré une fonction importante, qui joue sur le sphère  le même rôle que les sinus et cosinus à 1d : les harmoniques sphériques définies par

où les sont les polynômes de Legendre associés. Ce qui est très important à retenir est que le laplacien s’écrit

où est l’opérateur qui ne contient que les variables angulaire. Les harmonique sphérique sont les fonctions propres de et ceci nous permettra de traiter un grand nombre de problème en coordonnées sphérique : c’est l’analogue de la décomposition en série de sinus et cosinus que nous avons vu au premier semestre. Nous ferons cela la prochaine fois.

Math 362 : #1

Nous avons passé la journée à voir quelques exemples de résolutions, par superposition de fonction propre, d’équations, comme celle des ondes en coordonnées cylindriques.  Nous avons vu comment, lors de ce genre de résolution, nous aboutissons systématiquement  à des équation de type Sturm-Liouville. Je n’ai pas eu le temps de traiter l’équation de Laplace en coordonnées sphérique, et j’ai l’impression qu’un point délicat de la décomposition est resté pas bien compris. J’y reviendrai la semaine suivante. Brièvement, la question est, pourquoi si nous avons une équation du genre

alors ,  ,

Nous y viendrons la semaine prochaine avant d’attaquer les TD.

Résultats de l’examen.

J’ai fini la correction des copies, elles ne sont pas encore remises au secrétariat, ne vous y précipitez donc pas. Le sujet ainsi que sa correction sont déposés sur le site web du cours.

1. Description.

L’examen était en trois parties, très ressemblant aux TD. Les trois parties étaient d’importance égale. La première partie se portaient sur la manipulation  des TL : les règles de translation, dérivation, … Elle était assez similaire à un examen passé sur les fonctions de bessel J et a été vu en parti en cours, en parti en TD. L’examen comprenait quleques questions « bonus », comme par exemple déterminer la TL de . La deuxième partie était un calcul classique de stabilité linéaire, sur le modèle des années précédentes et encore très souvent fait en TD (avec des questions bonus du genre « décrivez qualitativement …) . La troisième partie portait sur la manipulation des opérateurs linéaires et leurs commutateurs, et une variante très similaire avait été donné à l’examen de juin de l’an dernier. Les deux dernières questions portait sur le calcul de commutateur de deux opérateurs fait en cours et TD.

2. Résultats.

Les copies ont été corrigé sur 30 points (il suffisait de faire 1/3 pour avoir la moyenne). 1/3 des étudiants (note entre 0 et 5) a fait l’impasse sur les math et a rendu copie blanche ou vide. C’est en gros la proportion des gens qui ne venait pas en cours.  Dans les restants, la moitié a eu la moyenne. La médiane de l’amphi est de 7.5. De façon générale, il y a une  nette baisse de niveau par rapport aux années précédentes. J’avais aperçu le problème au CC, le problème a perduré. Il y a eu également beaucoup de copies excellentes sur un problème en particulier, et  quelques copies parfaites sur tous les problèmes.

3. Analyse des faiblesses.

Comme d’habitude, les chutes  sont dues essentiellement aux manques importants des concepts de mathématiques élémentaires, appris en L1-2 :

Partie 1.

• Un grand nombre ne sait pas intégrer une équation différentielle de premier ordre, et quand le sait, ne sait pas comment trouver la constante d’intégration à l’aide des conditions initiales.
• J’ai été étonné de voir que pour une quinzaine de personne, la question bonus (utiliser trivialement la règle des dérivées) a été insurmontable.
• La troisième question a provoqué pas mal de chute pour trois raisons : beaucoup appliquent mal la règle d’homothétie des TL [malgrès tous les documents permis à l’examen] ; ensuite, une intégration simple dont la solution a été indiquée dans l’introduction n’a pas pu être effectuée par pas mal d’étudiants ; enfin, quand certains ont dépassé cet étape, ils n’ont pas su calculer correctement les bornes de l’intégrale.
• Les développement asymptotique ont très peu intéressé les étudiants ; C’était pourtant une réplique de celui que nous avions fait en cours pour les bessels . Par contre, les produits de convolution sont assimilés par un grand nombre.

Partie 2.

• La première question (bonus) était pour donner un sens pratique aux équations que nous allions résoudre ; une discussion vague suffisait pour avoir le point, et il fallait vraiment s’efforcer pour ne pas l’avoir. Pratiquement tous le monde l’a eu mais j’ai vu également des analyses étranges.
• Trouver les points fixes des équations différentielles a posé des problèmes à un certain nombre.
• Par contre, le calcul effectif de la stabilité a donné beaucoup de fil à retordre, surtout parce que beaucoup (une très grande majorité) ne savent pas trouver les signes des racines d’un polynôme algébrique de deuxième degrés. Cette faiblesse vient des années de Lycée.
• Une très grande incompréhension  des solutions d’une équation différentielle de second ordre à coefficients constants pour la sixième question que très peu ont fait. Pourtant, les oscillations, en mécanique, électricité, … sont le pain quotidien des étudiants de L1-L2 et ont été vu et archi-revu.

Partie 3.

C’est une partie qui était techniquement beaucoup plus facile, mais qui nécessitait de comprendre ce qu’est un opérateur et ne pas le confondre avec un nombre ou une fonction. Cela a posé pas mal de problème aux gens. J’insiste encore que cette partie était une variante de l’examen de juin de l’an dernier, mais n’a pas eu un taux de réussite plus grand que les deux autres problèmes.

4. Manque d’intégrité.

Un certains nombre d’étudiants utilise des « techniques » pour obtenir un point par ci par là, coute que coute. La plupart des questions sont du genre « sachant que … démontrer que Ceci= Cela ». La technique est la suivante : l’étudiant copie le début de la question, effectue au hasard deux trois manipulations souvent fausses et copiées des documents qui sont tous autorisés, écrit le mot clef « donc » (ou « on en déduit que ») et copie la solution qui est donné. Il y a deux explications à ce comportement:  soit l’étudiant imagine que j’ai une chance de ne pas voir le manque d’argument ; soit l’étudiant a été infantilisé pendant son cursus et croit que pour obtenir un demi ou quart de point, il suffit de se donner la peine de gribouiller quelques mots (« l’important est de participer »). Je désapprouve fortement ce comportement que j’assimile à un manque d’intégrité. Je n’ai pas pénalisé ces étudiants, mais le symbole T en triangle en marge des copies désigne la détection de ce genre de comportement. Bien sûr, j’ai également le cas opposé où l’étudiant souligne clairement la faiblesse d’un de ses arguments lors d’une démonstration, comportement que je juge adulte et responsable.