Math 351 : portée de l’examen de ratrapage.

Pour l’examen de ratrapage, le sujet portera (ou pourra porter) sur l’ensemble des choses sur lesquels ont porté le contrôle continu et l’examen final : série et transformée de fourier, distribution, convolution, transformée de laplace, théorie des perturbations, théorie des opérateurs linéaires. Le niveau de difficulté sera  le même. Comme d’habitude, tous les documents papiers (cours, livres, notes, les pages jaunes, …) sont autorisés, tous les outils électroniques interdits.

Cours,TD #13

Nous avons fait aujourd’hui l’application de la théorie des fonctions analytiques à l’intégration. Ceci est connu sous le nom de calcul des résidue.

Notre cours de la théorie des fonctions analytiques était une sorte de « crash course », le minimum à savoir, et il y a énormément de point que je n’ai pas abordé. Je voulais essentiellement donner un avant gout de cette très belle théorie, en me cantonnant au résultats qu’un étudiant utilisera le plus dans son cursus.

Les points importants que je n’ai pas abordé sont les coupures et les fonctions multivaluées comme ou , le calcul des valeurs princpales et les intégrales autour des points de branchement, et la relation, pour les fonctions causale, entre l’intégration des parties imaginaires et réelles (relation de dispersion ou Kramers-Kronig). Les étudiants intéressés pourront prendre un livre parmis les dizaines qu’on trouve à la bibliothèque. En langue française, j’avais beaucoup aimé les cours de Bass quand j’étais étudiants. En langue anglaise, je peux recommander « Complexe Variables » de Ablowitz et Fokas, mais il y a plethore de bon livre.

Cours/TD #11

Nous avons fait quelques exercices d’optimisation sous contrainte, et vu la forme variationnelle de l’équation de Schrodinger. Nous n’allons pas très vite, il faut l’avouer. Certaines parties des math ne demande pas un grand effort de compréhesion, mais juste pas mal d’entrainement pour s’habituer au geste. Exactement comme le fraiseur qui sait correctement positionner sa pièce ou le skieur qui apprend à curver. La manipulation des intégrales et des « equa dif » de première ordre est de ce genre de chose : avec un coup d’oeil, on distingue le genre de changement de variable que l’on cherche, et cela vient avec pas mal d’entraînement. Ce manque d’entrainement ralentit un peu l’avancée du cours où l’on dépense parfois du temps précieux sur des opérations triviales.

M’enfin, les choses étant ce qu’elles sont, il faut continuer. J’arrête là la partie du cours sur le calcul variationnelle, bien que ce soit un des chapitres les plus fondamentaux de notre cours  ; par contre, je laisse aux étudiants le soin de s’entraîner avec les exercices restants, et surtout de faire le problème de la formulation  lagrangienne du champ electromagnetique et le couplage champ-particules. Ce problème est le prototype de tous les problèmes de théorie des champs et la base de notre compréhension de la physique. On peut me rendre les copies après les vacances.

A partir du prochain cours, j’essaierai de donner un aperçu rapide (crash course)  de la théorie des fonctions analytiques.

Cours, TD#10.

Nous avons vu lundi comment introduire des contraintes dans les problèmes variationnels via les multiplicateurs de Lagrange. Nous avons traité en exemple l’entropie

où est la densité d’énergie, avec les contraintes

et   et on obtient facilement que , qui est la distribution canonique.

Cet exemple était plutôt trivial, puisque le Lagrangien ne contient pas de terme de dérivée. Nous avons également traité le cas général

avec la contrainte et nous avons vu que tous nos systèmes Sturm-Liouville dérivent d’une telle formulation variationnelle. En particulier, l’équation de Schrodinger staionnaire a une telle formulation, et il est alors très facile de démontrer que la fonction d’onde fondamentale ne change pas de signe.