avril | 2008 | Cours de Mathématiques de B. Houchmandzadeh

29 avril 2008

Cours/TD #11

Filed under: Uncategorized — bhouchmandzadeh @ 10:52

Nous avons continué le cours en introduisant la notion d’optimisation sous contrainte. J’ai fait un long rappel, en passant d’abord par l’optimisation des fonctions classiques, la méthode des déplacements compatibles (principe des travaux virtuels en mécanique analytique) et enfin les multiplicateurs de Lagrange. Une fois ces principes établis, la généralisation au calcul des variations était immédiat. Comme exemple, j’ai traité le problème isopérimétrique (dans sa forme la plus simple, on fera la forme complète en TD), et l’optimisation de l’entropie en microcanonique

$H=\int_0^\infty p(E).\log(p(E))dE$

avec les contraintes sur les probabilité p(E) et l’energie total du système

$\int p(E)dE = 1 ; \int E p(E) dE=T$ .

qui donne bien sûr la forme bien connu $p(E)=(1/T) \exp(-E/T)$ gravé sur la tombe de Boltzman. Nous avions eu ce problème sous forme détournée à l’examen de décembre. Nous nous entrainerons avec ces concepts lors du prochain TD.

Le cours du 12 mai qui saute à cause du lundi de pentcôte est reporté au mercredi 7 mai à 17heures. La salle est comme d’habitude, la A018.

Je voudrais féliciter les personnes qui m’ont rendu le devoir sur la formulation lagrangienne du champ électromagnétique. Tous le monde l’a bien compris et rédigé. Cet exercice est le prototype de tous les champs que vous rencontrerez lors de votre vie scientifique. Comme vous l’avez remarqué, nous n’avons traité que le champ dans le vide. Mais il n’y a pas que les champs dans la vie, il y a aussi les particules. La formulation complète serait quelque chose du genre

$L = L_{champ} + L_{particules} + L_{interaction}$

vous avez probablement vu le lagrangien des particules seules lors du cours sur la relativité. Il nous resterai qu’à expliciter le lagrangien d’interaction, qui n’est guère plus compliqué que ce que nous avons déjà vu.

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21 avril 2008

Cours/TD #10

Filed under: Uncategorized — bhouchmandzadeh @ 7:06

Nous avons eu notre deuxième TD de calcul variationnel. Après un rappel, nous avons attaqué deux problèmes de champs (ondes dans les corps élastique, équation de schrodinger), et j’ai eu l’impression que cette fois, le formalisme lagragien des champs passait beaucoup mieux.

Nous avons également fait le problème du brachistrochrone, plus classique. Je conseille aux étudiants de faire également l’équation sur l’énergie de courbure, c’est à dire d’obtenir les équations d’Euler-Lagrange quand le lagrangien contient des termes en dérivées secondes ${\cal L}(y,y',y'',x)$ . Il ne faut pas prendre l’habitude seulement des lagrangien simple.

Nous sommes près pour inclure les contraintes dans les problèmes variationnel. Ce sera l’objet de notre prochain cours, quand nous verrons les multiplicateurs de Lagrange.

Note 1 : Le cours du lundi douze mai saute à cause de la nouvelle loi sur le lundi de pentecôte. Originalement, ce cours était prévu pour remplacer le courts que nous avions perdu le 26 fevrier. Il faut donc qu’on le remplace par un autre créneua horaire : je propose mercredi 7 mai ou vendredi 9 mai.

Note 2 : J’attend pour lundi prochain le retour du devoir sur les équations du champ électromagnétique. C’est le prototype de la formulation lagrangienne des champs, tous les autres exemples que vous verrez dans votre vie de physicien (relativité générale, electrodynamque quantique, …) seront des exercices assez similaires.

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7 avril 2008

Cours/TD #9

Filed under: Uncategorized — bhouchmandzadeh @ 7:13

J’ai passé la première demi-heure à résumer notre cours de la semaine dernière et également introduire l’identité de Beltrami que je n’avais pas eu le temps de faire lors du précédent cours. J’ai également parlé de la formulation Lagrangienne du champ électro-magnétique et du tenseur électromagnétique. J’ai donné un TD à faire et à rendre la-dessus. J’attends les copies le lundi 21 avril ou au plus tard le lundi 28 avril.

Ensuite nous avons fait quelques exercices. Je me suis rendu compte que j’avais probablement trop assumé le niveau général. Comme il y avait eu un cours entier de Mécanique Analytique au premier semestre, je pensais que la plupart des concepts dont j’ai parlé sont juste une formalité. Je me rend compte que ceci n’est probablement pas le cas. Nous continuerons donc à faire des TDs la prochaine fois (lundi 21/04). Ce chapitre est un des plus fondamentaux en physique mathématique, il faut que ce soit bien assimilé. Je reviendrai plus en détail sur la formulation lagrangienne des champs, qui apparement passe pas bien. Je ne suis pas sûr que beaucoup aient suivi comment d’une action

$S=\int_V (\nabla f)^2 dV$

Nous avons déduit l’équation du champ :

$\Delta f = 0$

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1 avril 2008

Cours/TD #8

Filed under: Uncategorized — bhouchmandzadeh @ 10:30

Nous avons commencé à aborder un nouveau chapitre de notre cours : le calcul variationnel. Nous avons vu ce que veut dire un extrémum en général, nous avons introduit le concept de fonctionnelle et nous avons tenté de trouvé la fonction qui rend la fonctionnelle extrémum. J’ai insisté sur le concept de dérivée comme une certaine application linéaire que l’on peut définir pour des objets beaucoup plus général que des fonctions.

J’ai présenté deux approches : d’abord l’approche originale d’Euler qui consiste à discrétiser l’espace et transformer la fonctionnelle en une fonction de $N$ variables, à laquelle nous pouvons appliquer les concept usuel de l’analyse.Il suffit ensuite de faire tendre le pas de discrétisation vers zéro pour retrouver nos expression. J’ai tenu à présenter cette approche puisqu’elle est extrêmement intuitive ; que l’on utilise dès que nous tentons de résoudre un problème numériquement ; et que le physicien très souvent utilise cette approche quand il tombe sur un problème qu’il ne sait pas par quel bout prendre.

J’ai ensuite présenté l’approche « moderne » en calculant explicitement la variation de la fonctionnelle $S[u+\epsilon v]$ à l’ordre 1 et en obtenant l’équation d’Euler-Lagrange

$\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial u'} - \frac{\partial L}{\partial u}=0$

où $L$ est le lagrangien. Nous avons vu quelques exemples et nous avons ensuite généralisé E.L. selon deux directions.

Nous avons traité d’abord le cas où le lagragien contient $n$ fonctions d’une seule variable, comme par exemple la trejectoire $x(t),y(t),z(t)$ d’une particule dans l’espace. Nous avons vu que cela nous procure $n$ équations, une pour chaque fonction.
Nous avons ensuite traité le cas de ce qu’en physique nous appelons un champs : le lagrangien contient une fonction de $n$ variables, comme par exemple le cas de la corde vibrante où la hauter de la corde $u$ est fonction de deux variables $x,t$ . Nous avons vu qu’E.L. se généralise facilement pour donner l’équation du champs :