Cours #8 : Distribution et TF : Gears of physics.

Ce Cours était destiné à l’utilisation combiné des TF et distributions (essentiellement des Dirac). Après avoir passé un peu de temps sur les rappels, et à insister sur les variables directes et réciproques (quelque soit leur nom), et en profiter pour par exemple pour parler des peignes de Dirac, j’ai obtenu la fonction de Green de l’équation de la chaleur

qui est bien sûr la fameuse gaussienne en qui s’élargit en .

Ensuite, nous avons passé du temps pour comprendre pourquoi les fonctions de green nous donnent accès à la réolution générale d’une fonction quelconque au second membre de l’EDP de la chaleur,

puisqu’une fonction n’est que la superposition des delta pondérés :

Nous avons vu ici apparaître pour la première fois les produits de convolution, que nous traiterons en détail la prochaine fois.

Cours #7 : Distribution.

Chapitre : distribution.

Nous avons commencé notre premier cours sur les distributions. J’ai introduit la façon physicienne de voir la distribution de dirac, j’ai ensuite introduit la théorie de Schwartz des distribution comme forme linéaire sur l’esapce des fonctions. J’ai mentionné le livre de François Rodier comme une excellente source pour aller plus loin.

Cours #6 : TF1.

chapitre Transformée de Fourier

Nous avons vu aujourd’hui notre premier cours sur les TF, comme

(i) une généralisation des séries de fourier aux intervalles infinis

(ii) comme un opérateur linéaire dans l’espace des fonctions

Nous avons vu les règles de manipulations des TF(inversion, dilatation,…) et spécialement dérivation, qui nous permet de transformer les équations différentielles en équations algébriques.  Dans son esprit, cela ressemble à l’utilisation des logarithmes par Neper, qui permettait d’effectuer des additions au lieu des multiplications.

Comme applications, nous avons vu l’optique de fourier, j’ai mentionné la limite de diffraction et le filtrage spatial dans le plan focal arrière de la lentille, la microscopie en contraste de phase ; j’ai également traité du filtrage linéaire en électronique et son application pour la détection des ondes radio par exemple. Ce dernier est légèrement plus compliqué que ce que j’ai exposé en cours et nécessite une démodulation du signal en homodyne par exemple.

Cours #5 : SF3 (suite et fin)

Nous avons eu aujourd’hui notre troisième cours, essentiellement sur les applications des séries de fourier. Nous avons fait le prototype « equation de la chaleur », et nous avons vu , à travers quelques exemples, comment régulariser les cas plus compliqué de conditions. J’ai passé ensuite en revue les divers EDP classique de la physique.

Enfin, nous avons fini avec une autre application des SF à travers la fonction caractéristique en probabilité

Avec lequel nous avons traité le mouvement brownian.

J’ai mentionné dans le cours l’excellent livre d’Arnold sur les équations différentielles ordinaire (pour ceux qui souhaitent avoir une culture plus large).

J’ai également mentionné l’article original de J. Perrin sur le mouvement Brownien, que vous pouvez trouver ici.

Cours #4: Séries de Fourier (suite)

Nous avons aujourd’hui commencé le cœur de l’application des TF : Les équation à dérivée partielle.

Après avoir introduit deux nouvelles variantes des SF, les séries de sinus et de cosinus, nous avons établit les règles de dérivation terme à terme de ces séries. Cela nous a permis de résoudre le prototype d’EDP qui est l’équation de la chaleur :

Nous reviendrons sur cela en détail la prochaine fois.

Par ailleurs, Suite à la remarque d’un étudiant, j’ai insisté une nouvelle fois sur la notion de convergence : nous utilisons l’égalité entre les fonctions au sens , c’est à dire que deux fonctions sont égale sur si

Cela nous donne l’égalité entre les deux fonctions « presque partout » : les deux fonctions peuvent différer sur un ensemble dénombrable de point. Cette égalité (et la convergence qui suit) nous contraigne moins que l’égalité point à point, où il faut s’assurer de la convergence uniforme de la dérivée quand nous voulons dériver sous le signe .

Pour les personnes intéressées par l’analyse fonctionnelle de façon plus poussée que ce que j’ai énoncé dans le cours, un très bon livre est celui de N. Boccara, Analyse Fonctionnelle.

Cous #3 : Série de Fourier.

Chapitre #Séries de Fourier.

Nous  avons vu aujourd’hui la première application de la décomposition des fonctions sur une base dénombrable, la base de Fourier. Nous avons développer cette base, et sa variante complexe, et avons fait quelques exemples. J’ai beaucoup insisté sur la définition d’une fonction, qui comprend son intervalle.

J’encourage vivement les étudiants à faire des TP numériques, en utilisant un logiciel comme par exemple scilab (qui est un logiciel libre pour « voir » comment on reconstruit une fonction à l’aide de quelques harmoniques . J’ai cité d’autres nom pour le calcul symbolique, comme Mathematica, -pad, et une personne a également mentionné XCAS.  Pour rédiger des rapports, des notes, … le meilleurs logiciel est LyX (une surcouche de LaTeX) qui vous débarrassera  des programmes bas de gamme comme MSWord. Enfin, pour ceux qui veulent se débarasser définitivement d’un dinosor  des systèmes d’exploitation comme Windows mais n’osent pas le virer : WUBI permet de gouter à Linux/Ubuntu sans toucher à Windows.

A la fin du cours, j’ai mentionné le fonctionnement de l’oreille comme un décomposeur en SF. Pour ce qui sont intéressé par ce sujet,, l’article suivant est un bon point de départ.

Annonce :
Si vous êtes un étudiant studieux, je peux vous fournir un exemplaire papier, à condition que le manuscrit soit abondamment annoté et corrigé et me soit rendu à la fin de l’année (mois de janvier) pour que j’inclue les corrections.

Cours #2 : Analyse fonctionnelle.

Chapitre : Analyse fonctionnelle.

Nous avons eu aujourd’hui le socle théorique sur lequel nous construirons le reste des 10-15 cours à venir. Nous avons vu comment l’espace des fonctions possède naturellement une structure d’espace vectoriel, que l’on peut équiper avec le produit scalaire (pour les fonctions réelles)

Nous avons également énoncé le théorème de Weierstrass : dans l’espace des fonctions de norme finie (l’espace de Hilbert),  nous pouvons trouver des bases dénombrable, c’est à dire un ensemble de fonction tel que

C’est un très beau théorème, un peu technique que je n’ai pas démontré en cours, mais que vous pouvez trouvez ici .

Nous verrons (au second semestre) dans les chapitres avancés que l’on peut généraliser la définition du produit scalaire par

où  la fonction est appelé la fonction poids. Le choix du poids nous donne naturellement le choix de la base à utiliser.

Lors du cours, j’ai mentionné que se donner une norme (qui dans notre cas, est héritée du produit scalaire) c’est se donner une topologie : on peut mesurer la distance entre deux points de l’espace, ce qui nous permet ensuite de définir la convergence des suites. Ajouter à un ensemble la limite de toutes ses suites convergentes s’appelle la fermeture topologique de cet ensemble. Par exemple, en munissant l’ensemble des nombres rationnels de la distance suivante :

et en fermant topologiquement vis à vis de cette norme, nous obtenons l’ensemble . Ce n’est pas la seule façon de fermer . En se munissant d’une autre distance qu’on appelle p-adique et en fermant vis à vis de cette distance, nous obtenons d’autres nombres, très différents des nombres réel. Si vous voulez visitez les nombres un peu plus exotiques que ceux que vous connaissez, un chapitre du manuscrit leur est dédié.

Enfin, la réponse à la question « que veut dire dénombrable » m’a amené à parler de la hiérarchie des infinies et de sa définition. Ce qui s’intéressent à cela peuvent trouver ici un petit cours transversal de vulgarisation que je donnais aux étudiants de L1-L2.

rentrée 2009 : bienvenue.

cours: chapitre gémotrie.

Nous avons eu notre premier cours aujourd’hui sur des notions de géométrie. Nous avons vu que pour caractériser un système de coordonnées, nous avons besoins de l’éléement d’arc

où les sont des fonctions dépendant des coordonnées. A l’aide de ce concept, nous avons d’abord visité la signification géométrique de grad, rot, div, laplacien, et nous les avons ensuite exprimés dans un système de coordonnée données par son tenseur métrique.

A la fin du cours, quelqu’un m’a demandé si la relativité était relié à ce que nous avons vu. La réponse est bien sûr oui (voir mon cours de relativité sur le web), mais la géométrie de l’espace à 4 dimension est un peu moins habituelle pour nous, puisique entre deux points distants, il est possible de trouver (on dit que la pseudo-metric est dégénérée).

Annonce  :

Le manuscrit du cours est bien sûr à votre disposition pour téléchargement. Je ne distribue pas de version papier, mais si vous vous manifestez auprès de la bibliothèque, vous pouvez leur demander de reproduire quelques exemplaires à la BU.

Par ailleurs, si vous êtes un étudiant studieux, je peux vous fournir un exemplaire papier, à condition que le manuscrit soit abondemment annoté et corrigé et me soit rendu à la fin de l’année (mois de décembre) pour que j’inclue les corrections.