Math 351 #14.

Comme promis, nous avons discuté, en calcul des perturbations régulières :

1- La stabilité Marginale.

2- Les équations intégrales de type Voltera

3- Solution d’équations différentielles légèrement perturbées.

Nous verrons la prochaine foi que le point 3 est plus complexe que ce qui parait, ce qui va nous permettre d’aborder (un peu) les perturbations singulières.

Math 351 #13

Cours de mathématiques, chapitre perturbations

Nous avons commencé l’étude d’un nouveau chapitre  : le calcul des perturbations. Nous avons eu le temps de traiter le cas des équations algébriques ( comment par exemple calculer la solution de ) et les valeurs propres d’une matrice : si l’on connait les valeurs propres d’une matrice , comment calculer celles d’une matrice ?

Nous avons vu que la réponse au premier ordre à cette dernière question a une forme très simple :

et vous serez amenez à utiliser constamment ce résultat dès que vous aurez progressé un peu en mécanique quantique.

La prochaine séance sera consacré aux (i) stabilité linéaire ; (ii) équations intégrales ; (iii) équations différentielles simples.

lors de notre troisième cours sur les perturbations, nous explorerons les limites de validité de cette technique et aborderons un peu les « perturbations singulières »

Commentaires sur l’examen à mis parcours.

J’ai fini de corriger les copies. Elles sont corrigées sur  27 points, c’est à dire que faire environ 3/4 des questions méritait 20/20.

La moitié de la promotion a obtenu la moyenne, dont une dizaine avec une note > 15 et  trois 20/20.

16 personnes (environ 30% ) ont eu une note < 6/20. L’examen comportait environ 7 points de questions « cadeaux », juste des rappels de cours ou de TD élémentaires, ou des questions niveau terminal/L1. Pour un examen où tous les documents sont permis, obtenir une note inférieure à 6/20 dénote une carence importante dans la compréhension des mathématiques et des manques importants des concepts de base. L3 Physique-Recherche est la filière la plus exigeante en mathématiques, et il n’est pas possible d’aller très loin dans les autres matières avec de telles manques. Je suggère aux personnes se trouvant dans ce cas d’envisager une reconversion vers d’autres filières où les mathématiques ne jouent pas un rôle aussi prépondérent.

Voilà quelques erreurs que j’ai rencontré dans les copies à titre d’exemple.

Erreurs pas trop grave, mais très généralisées :

•  Pratiquement tout le monde a commis cette erreur  sans se demander si était pair ou impair.
• , beaucoup ont oublié la dimension de la fonction de Dirac. J’ai pourtant insisté dessus en cours.

Erreurs graves.

elles   reflètent un manque important  de concepts de base.

• Un nombre non négligeable ne sait pas résoudre une équation différentielle ordinaire de premier ordre à coefficients constant : . On apprend cela en L1, et on utilise ce résultat constamment après dans tous les cours de physique et de chimie. En L3 physique recherche, ne pas savoir cela est comme ne pas savoir les règles d’addition et de multiplication.
• Sachant que , un grand nombre n’a pas réussi à trouver . C’est comme si connaissant la solution de l’équation algébrique , nous étions incapable de résoudre l’équation simplement parce que nous avons changé la forme des paramètres.
•   donc  
• 
• 
• 
• 

 

Réactions.

Si vous avez passé cet examen, je serais heureux de connaître vos commentaires.  Quelles sont les points qui vous ont paru ambigus ou trop durs, le déroulement général, la durée, la possibilité de disposer des documents papiers, …

Math 351 : cours #10,#11,#12.

Chapitre : Transformée de Laplace

Ces trois cours ont été consacré a l’étude des transformées de Laplace, et de leurs applications aux équations intégrales et différenrielles.  Nous avons rencontré les techniques de base, les développements asymptotiques, les décompositions en fractions simple ; le dernier cours était essentiellement consacré à la théorie des systèmes asservis et le régulateur PID.

Math 351 : Examen à mis parcours

Le corrigé de l’examen d’aujourd’hui est déposé sur le site web du cours.

Math 351 : cours #8,9

chapitres  TF, Distribution, Convolution.

Nous avons vu les produit de convolution

et leurs nombreuses applications (mesure en physique, sommes de variable aléatoire en proba) et avons insisté sur leurs relation avec la fonction de Green d’une équation.

Les trois chapitre TF, Distributions et Convolutions sont complémentaires.

Le cours #9 a été consacré à la révision générale de tout ce que nous avons fait de façon assez dense. J’ai essayé d’insister sur les points importants à travers de nouveaux exemples.

Nous aurons un CC le 8 octobre. Pour ce qui suivent mon cours, il est utile de regarder les archives des examens passés déposés sur le web central du cours.

Math 351 : Cours #6,7

Nous avons vu la théorie des distribution et leurs utilisations avec les TF. Nous avons calculé  explicitement la fonction de Green de l’équation de la chaleur et la réponse à une fonction quelconque comme un produit de convolution.

Math 351 #5 : TF

cours, chapitre :  Transformée de Fourier

Nous avons aujourd’hui généralisé les séries de fourier pour aboutir aux Transformée de Fourier. Nous avons vu les règles de manipulation des TF (inversion, dilatation, translation, dérivation) qui nous permettent de manipuler des équation différentielles.

Pour pouvoir utiliser tout le potentiel des TF, nous avons besoin de maitriser quelques « infinis » simple : c’est ce que nous ferons la prochaine fois à travers la théorie des Distributions.

Math 351 #4 : SFIII – application aux EDP

Aujourd’hui, nous avons vu comment utiliser les SF pour résoudre les équations aux dérivées partielles. Nous avons traité comme exemple l’équation de la chaleur avec des conditions aux limites de Dirichilet : la valeur de la fonction est imposé sur les bords, et nous avons vu que cela nous incite à à choisir la base de sinus pour le traitement.

Nous avons ensuite vu, à travers des exemples, comment régulariser les conditions aux limites, comment incorporer des termes de sources, et comment utiliser la fonction caractéristique pour résoudre certaines équations discrètes comme par exemple le spectre des phonons.

Math351 #3 : Séries de Fourier II

Nous avons continué notre exploration des séries de Fourier en introduisant les séries de (i) fourier complexe , (ii) sinus (iii) cosinus. Nous avons ensuite passé un peu de temps à définir les conditions dans lesquelles ces séries sont terme à terme dérivable, c’est à dire que la série de fourier de la fonction et la dérivée terme à terme de la série de fourier de la fonction  coïncide.   Nous avons t vu que nous devons avoir

1. Fourier :
2. cosinus : pas de condtition
3. sinus :

Beaucoup de questions intéressantes à la fin du cours. Je regrette seulement que les étudiants ne posent pas ces questions pendant le cours. [Selon une  étude de l’OCDE que j’ai vu récemment dans Libération, les étudiants français sont 27ème/27 pour poser des questions en classe. Cause : culpabilité ressenti vis à vis du prof et du regard des autres collègues]

1. Je n’ai pas énoncé les conditions d’intégration terme à terme. Quelques étudiants se posaient la question. J’ai mentionné que nous avons toujours le droit de le faire, tant que nous nous restreignons à l’espace .  Comme je l’ai dit, la démonstration date des années 1905 ( Lebesgues) et s’appelle le théorème de convergence dominé. [Note : vous  devez un peu affiner les conditions, et montrer que sur les intervalles finis, une fonction de carré sommable est sommable. ]

2.  Une autre très bonne remarque était le suivant : la condition est une condition de continuité pour la série de Fourier. Qu’arrive t’il si la fonction a des discontinuités au milieu de l’intervalle ? On devrait avoir le même genre de problème.

La réponse est exactement oui, et j’ai laissé la personne qui m’avait posé la question de réfléchir un peu la dessus. C’est comme cela qu’on goûte vraiment les difficultés. Pour ceux qui veulent joindre l’effort de réflexion, considérer la série de cosinus de la fonction

 si et si (une fonction marche).

Essayer de donner un sens à la fonction et voir si la dérivation terme à terme de la série de Fourier est permise.

Pour ceux qui voudraient prendre un peu d’avance : nous pouvons donner un sens cohérent à ce genre de chose à travers la théorie des distributions, que nous verrons dans environ 3 semaines.