Math 351 : portée de l’examen de seconde session

L’examen de seconde session aura lieu le jeudi 16 juin de 9h à 11h.

Le niveau de difficulté sera le même que celui de l’examen de décembre.

L’examen couvrira trois domaines : le calcul des perturbations, les transformées de Fourier, les transformées de Laplace.

Examen de Math 362 et remarques finales.

1-L’examen.

Le sujet de l’examen du 24 mai, ainsi que sa correction (partielle) sont déposés ici et sur le site central.

L’examen était corrgé sur environ 30 points et il suffisait donc de faire 2/3 de l’épreuve pour avoir 20/20.

J’ai corrigé les copies et les ai remis à Claudie Clot. Contrairement aux autres années, les résultats sont  hétérogène, les notes s’échelonnant entre 4 et 20. Moyenne 11, écart type 6.

2- Votre opinion du cours.

Si vous avez suivi mon cours, laissez un commentaire (anonyme) pour donner votre opinion du cours : comment vous avez aimé et/ou détesté le cours ;  quel sont les sujets abordés qui vous ont le plus plu/déplu ; quel sujet vous souhaitez voir introduit/augmenté et quel sujet vous a paru nécessiter une disparition ? Comment vous avez trouvé l’examen final ? Toute autre commentaire que vous trouvez utile.

C’est par vos commentaires que je fais évoluer le cours. Le poids de la partie variable complexe et de la partie Sturm Liouville ont été modifié suite aux commentaires de vos prédécesseurs.

Cours #13-17

Nous avons passé en revue la théorie des systèmes Sturm-Liouville, en concentrant la dernière partie sur la revue des polynômes orthogonaux (Legendre, Laguerre, Jacobi,…).

cours #11-12

1-

J’ai introduit le thème d’optimisation sous contrainte, et nous avons fait un TD où nous avons vu un classique comme l’équation de la chainette , l’équation de Schrodinger et le problème isopréimtrique.

 

2-

Pratiquement tout le monde m’a envoyé le problème d’électromagnétisme que j’avais posé. Si vous avez fait ce problème, vous vous êtes probablement rendu compte combien ces manipulation d’indice peuvent être rébarbatif. Il se trouve que nous pouvons  « vectoriser » ces opérations, et rendre le problème variationnel aussi simple qu’un problème d’une fonction à une variable. J’ai mis en ligne un petit cours sur la théorie d’élasticité, qui contient un petit chapitre sur le champ électromagnétique, dérivé de cette façaon.

Math 362 : cours #9-10

Nous avons passé du temps à nous exercer. J’ai introduit les éléments de l’élasticité comme exercice, ce qui nous a permis de plus de nous entraîner avec les conditions aux bords libres.

Math 362 : cours #7-8.

1- Le cours.

Nous avons commencé et développé notre cours sur le calcul variationnel.  Nous avons posé les équations d’Euler-Lagrange, nous avons vu l’identité de Beltrami qui dans les cas simple, nous donne directement une intégrale première. Nous avons vu ensuite la généralisation de l’équation E-L aux champs, c’est à dire des vecteurs à composantes dans un espace à dimension : .  Ceci nous permet par exemple d’étudier l’électromagnétisme dans sa formulation Lagrangienne et constitue le devoir que j’ai donné aux étudiants, à rendre avant le lundi 11 avril, rédigé en Latex (ou Lyx) et envoyé sous forme pdf. Ce sera également l’occasion pour les étudiants d’utiliser un éditeur de texte scientifique.

Le devoir consiste à calculer le champ EM (c’est à dire les équation de Maxwell), étant donnée les particules. On peut résoudre le problème inverse : étant donnée le champ EM, obtenir les équations du mouvement des particules. Ce problème était l’objet de l’examen de l’année dernière . Je pense faire un problème pour l’examen de cette année qui consisterai à obtenir les équations d’élasticité à partir de la formulation Lagrangienne. Ceci est un peu plus compliqué, puisqu’il faut gérer les conditions aux bords (les corps solides étant fini). Si j’arrive à simplifier suffisamment le problème, vous l’aurez à l’examen. La formulation est très proche du champ EM (c’etait d’ailleur la démarche historique de Maxwell en sens inverse).

2- Le calcul tensoriel.

Les équations d’EL du champ m’ont amené à utiliser les notations tensoriels. J’ai l’impression que pour les étudiants, le mot « tenseur » évoque un sommet mystérieux et une notion compliquée. Malheureusement, je n’ai pas le temps cette année de donner quelques notions des tenseurs. Ceci dit, démystifions un  peu les choses :

A notre niveau, les tenseurs généralisent simplement la multiplication.  prenons l’équation de la dynamique
.

Cette relation nous indique que pour obtenir le vecteur force, il faut prendre le vecteur accélération et le  multiplier par un nombre appelé masse. La relation entre l’accélération et la force est linéaire : si nous avons deux fois plus de , on aura deux fois plus de  $latex \vec{F}$.  Notons une conséquence de cette relation : la force et l’accélération sont toujours parallèle.  Ceci est en plus de la linéarité. Nous pouvons parfaitement avoir la linéarité, mais pas le parallélisme. Par exemple, prenons un cristal dielectrique, et éclairons le par la lumière polarisée. Le champs à la sortie dépend de façon simple du champ à l’entrée :

La relation est encore linéaire : deux fois plus de champs à l’entrée nous donne deux fois plus de champ à la sortie. Par contre, les deux champs ne sont à priori pas parallèle (cela dépend des propriété du cristal). Il est évident que n’est pas u nombre, mais un objet plus compliqué appelé tenseur. Si nous nous sommes données un système de coordonnées, nous pouvons représenter par une matrice et écrire  (nous sommons sur l’indices répété)

Ce qui est important est de ne pas confondre qui est une quantité fondamentale comme la masse , et sa représentation matricielle qui dépend du système de coordonnées.

L’exemple ci-dessus relie deux vecteurs, mais nous pouvons avoir une opération linéaire qui relie deux tenseurs (d’ordre deux), comme par exemple en élasticité

où la contrainte et la déformation sont des tenseurs d’ordre deux, est le tenseur d’elsatcité est en tenseur d’ordre 4. Dans un système de coordonnée, la représentation tensoriel de utilise 4 indices.

Normalement, cela vous suffit pour faire plein de chose au niveau L3-M2. Pour aller plus au fond des choses, on doit revoir notre concept de vecteur, et le concept dual de forme linéaire. C’est un chapitre passionnant de la géométrie, et par conséquent de la physique (pratiquement toute la physique est de la géometrie). Frédéric Faure donne un cours de calcul tensoriel en M1 et j’encourage vivement les étudiants à le suivre. Par ailleurs, nos collègues Semay et Silvestre-Brac ont écrit un petit livre très abordable sur le calcul tensoriel. La littérature anglo-saxonne comporte évidemment un choix beaucoup plus large.

En tout cas, n’abordez pas le calcul tensoriel à l’ancienne, comme Ricci et Levi-Civita l’avaient introduit en 1901, et qui est encore malheureusement trop souvent enseigné.

Math 362 : cours #4-6.

Après avoir parcouru la théorie, nous avons faits des exercices de calcul d’intégrale divers et varié dans le plan complexe. Au cours #6, j’ai traité quelques intégrales un peu plus compliqué de par le choix de leurs trajectoires, comme par exemple

 et

Les points que les étudiants n’aiment pas, et qui pourtant sont cruciaux, sont d’abord de démontrer que ces intégrales existent, et ensuite démontrer que sur certaines parcelles dans le plan complexe, l’intégrale est nulle.

A travers les exemples, j’ai pu à la fin aborder le calcul des valeurs principales, surtout pour les pôles simples, et la transformée de Laplace inverse comme une extension des TF inverse.

J’ai eu une question auxquelles je n’ai pas de réponse  et qui mérit beaucoup plus de réflexions. J’ai énoncé la valeur principale (VP) comme une façon fragile de faire converger une intégrale divergente, en compensant la divergence des deux côtés du pôle :

 quand

Dans le cas des pôles simples que j’ai enseigné, la divergence des deux côtés du pôle est logarithmique et nous avons

Un étudiant m’a fait remarquer  que nous n’étions pas obligé de faire un découpage symétrique autour du pôle, nous aurions pu prendre par exemple enlever l’intérvalle , la divergence disparaît mais nous devons ajouter un à la valeur de notre intégrale. De façon générale, nous aurions pu obtenir n’importe quelle valeur pour l’intégrale en choisissant le découpage autour du pôle.

Ce problème n’existe que pour les pôles simples ; pour les pôles multiples, un découpage non-symétrique ne tue pas la divergence. Ceci dit, les pôles simples sont les cas les plus importants et le seul découpage qu’on utilise en physique est le découpage symétrique.  Quelle est la symétrie (physique) qui nous impose ce choix ?Par exemple,  les relations Kramers-Kronig dont j’ai parlé en cours et qui relient l’indice et le coefficient d’absorption dépendent de ce choix (et de façon générale, les transformée de Hilbert).

Je ne connais pas la réponse  à cette question. J’avais préparé un petit texte  de vulgarisation sur les infinis qui devait comporter trois partis : l’infini des philosophes, des mathématiciens et des physiciens et qui ne comporte que les deux premiers. Je collectionne les problèmes de physiques où les infinis apparaissent de façon étrange et cette question nécessitera sans doute un paragraphe supplémentaire quand j’aurais le temps d’écrire la troisième partie.

J’avais mentionné au début du cours certain problème similaire que l’on rencontre quand nous sommes en présence des convergences « faible ».  Prenons par  exemple, une série qui n’est pas absolument  convergente ; j’ai mentionné qu’en réarrangeant l’ordre de la sommation, on peut faire tendre cette série vers n’importe quelle valeur. La question a son importance, puisque par exemple l’énergie électrostatique d’un cristal de NaCl est donné par la série . Cependant, beaucoup de ces « paradoxes » disparaissent si on les regarde du côté des physiciens : « Qu’est ce que je peux mesurer ? » Ceci demande une longue discussion.

Math 362 : cours #1-3.

Nous avons fait une courte revue de la théorie des fonctions analytiques (holomorphes) et en particulier,son application à la théorie de l’intégration.

J’avais demandé de réfléchir à la transformation des droites du plan complexe. Ceci est une transformation célèbre de la géométrie euclidienne (appelé inversion) qui permet d’étendre facilement aux cercles les théorèmes connus sur les droites. Ses différentes variantes jouent un rôle important dans la techniques des transformations conformes pour la résolution des équations à dérivées partielles à deux dimension (je ne crois pas que j’aurai le temps d’aborder ce chapitre, sauf peut -être à travers un problème d’examen, à voir).

En tout cas, voici la solution que je propose en coordonnées polaires et la solution proposé par Marc Chandelier en coordonnées cartésiennes.

Math #351 : examen final.

Le sujet de l’examen de 5 janvier 2011, ainsi que son corrigé sont déposé sur le site web.

update 21/01 :

La correction est achevée. Les copies ont été corrigées sur 31 points, il fallait faire un peu moins du tiers des questions pour avoir la moyenne.

La moyenne de l’amphi est autour de 10 (9.5), mais les notes reflètent une très forte disparité.Nous avions la même tendance au contrôle continu.La deviation standard des notes est de 6.5, de même ordre que la moyenne.  4 personnes ont eu 20/20, dont une copie parfaite qui a eu les 31 points.  12  personnes ( ~1/4 de l’amphi) ont eu  une note supérieur à 15. Dans le sens inverse,  20 personnes ( ~40%) ont eu  une  note inférieur à 5. Ce niveau de mathématique à mon avis est très insuffisant pour poursuivre des études de Physique Recherche.

Les copies mettront un certain temps avant d’être désanonymisées, ne vous ruez pas chez Claudie Clot.

Math #351 : Cours #15-18

Au cours #15 nous avons terminé avec le calcul des perturbations, en étudiant le traitement des termes séculaires dans les problèmes d’oscillations.

Au cous #16, Nous avons commencé le chapitre sur les opérateur linéaire, et nous avons vu comment donner un sens à des objets comme

.

La semaine prochaine, nous verrons comment calculer efficacement ces opérateurs en introduisant les matrices. La théorie matricielle a joué un très grand rôle dans le développement de la mécanique quantique, et beaucoup de livre, comme le Landau, les utilisent directement. Pour voir comment l’utilisation de la théorie matricielle s’est développé, le livre de Chpolski (physique atomique, tome I, disponible à la bibliothèque du batiment A) est un très beau  livre. Il raconte avec une très grande précision  les expériences qui ont fait émerger ce thème.

Update :

Le cours 17 était consacré à la représentation matricielle des opérateurs ; le cours 18 au concept de vecteur et valeur propre et son application à la résolution d’équation à dérivées partielles linéaires. Nous avons alors vu le lien ente la représentation matricielle et l’exponentiel d’un opérateur. Nous avons passé également un peu de temps à obtenir la valeur propre d’un opérateur s’écrivant sous la forme de , en ne sachant rien d’autre que la relation de commutation entre . J’ai promis que nous aurions un problème similaire à l’examen.